一、前言

一般說來黏性土壤受載重產生應變時，幾乎無膨脹行為，砂性土則依密度與內摩擦角值，受荷重產生不同程度的體積膨脹行為，摩爾－庫倫組合律Mohr-Coulomb Model 及硬化土壤組合律Hardening Soil Model均使用膨脹角控制土壤受剪時的膨脹行為，在Mohr-Coulomb Model裡設定土壤內摩擦角大於30°以上，土壤受力後產生膨脹，此時需輸入膨脹角參數 (Dilatancy Angle)，膨脹角參數的定義如右，一般土壤于受高剪應變作用情況下，土壤體積大多趨近於臨界狀態，即土壤體積變化于高剪應變情況下呈一定值，尤其於緊密砂土受高應變時，土壤體積的應變亦趨於不變狀態，然一般土壤材料模式無法適度考量此一情況，Hardening Soil Model即使用一膨脹抑制 (Dilatancy Cut-off)，于土壤高剪應變時，土壤的體積應維持不變。

二、硬化土壤組合律

與全彈塑性模型相比，硬化土壤塑性模型的屈服面在主應力空間內不是固定的，但它可以由產生的塑性應變而擴大。根據硬化的區別可以分為剪切硬化模型和壓縮硬化兩種硬化形式。剪切硬化模型用來類比主偏應力作用而產生的不可恢複的應變；壓縮硬化模型用來類比在主壓應力和各向同性的荷載作用下產生的不可恢復的塑性應變。

硬化土壤模型是一個類比不同類型土的特點的好模型，無論是軟土還是硬土都適合Schanz (1998)。當作用主向荷載時，土的剛度會有所下降，同時，不可恢復的應變也會發展。在一個三軸排水試驗中，觀察到的軸向應變和偏應力的關係能夠近似的用雙曲線來描繪。這種曲線關係首先被Kondner (1963) 提出來，之後就引用到雙曲線模型 (Duncan&Chang，1970)。然而，硬化土壤模型比這種雙曲線模型更好。因為硬化土壤模型使用的是塑性理論而不是彈性理論，它包括了土的膨脹，並引入了屈服帽概念。

硬化土壤模型的一些基本特點如下：

與應力相關的剛度指數關係                           m參數

由主偏壓荷載產生的塑性應變                  參數

由主壓縮產生的塑性應變                         參數

彈性的卸載和載入                            ，參數

摩爾－庫倫模型破壞準則             ，和參數

硬化土壤模型的基本特徵就是應力與土壤的剛度有關。在固結條件下的應力和應變，這個模型提出了這樣的關係：。在特殊軟土中實際上採用m＝1，在這種條件下也是在修正壓縮指數和固結荷載模量的間的一個簡單關係：

                                                            (1)

                          （）

式中是一個參考壓力，就是說把切線固結模量作為一個特殊參考壓力。也是主荷載作用下的剛度與修正壓縮指數的關係。

同樣，當m=1時反復載入和卸載模量與修正膨脹指數的關係如下：

                                        (2)

                          （）

硬化土壤模型闡述的一個基本概念就是在主向荷載作用下豎向應變和偏應力之間的雙曲線關係。標準的三軸排水試驗得到屈服曲線可以由下式表示：

                                              (3)

式中，是剪力強度的漸近值，如圖1所示。是在主荷載作用下與剛度模量有關的約束應力，可由下式得到：

                                    (4)

式中是一個與參考圍壓對應的參考剛度模量。可設=100（應力單位）。實際剛度依賴最小的主應力這個最小主應力，在三軸排水實驗中就是圍壓，對壓縮是可以忽略的。應力值相關性的大小由參數m決定。模擬軟粘土應力相關性時取對數形式，相應的m＝1。Janbu (1963) 提出對Norwegian砂和沉泥m值約為0.5，Von Soos (1980)提出m值是在0.5到1.0之間。

極限偏應力和式 (3)值可以定義為：

      和    (5)

通常是可以忽略的。的關係可由摩爾－庫倫破壞準則來推導。其中包括了強度參數c和，當滿足破壞條件時，就如摩爾－庫倫描述的那樣發生完全塑性屈服。

和間的比值可用破壞比表示，明顯小於1。實際計算時常用的破壞比為＝0.9。在反復卸載和載入的應力途徑，其應力與剛度模量的關係如下：

                                    (6)

式中是與卸載和載入的參考壓力有關的楊氏模量。在多數情況下可取。為了簡便，認為三軸荷載作用下，為主壓應力。還有，如圖1所示假設，壓應力和壓應變是正的。屈服函數可由下式表示：

                                                                    (7)

式中是應力函數，是塑性應變函數。

                                (8)

式中、、由式 (4) 和式 (5) 得來，同時上標p用來表示塑性應變。對於硬土來說，塑性體積變化相對較小。可以取近似。當初期荷載作用下的屈服條件為將代入式 (8) 可得：

                        (9)

因此，硬化土壤模型除了考慮塑性應變，也考慮了彈性應變。塑性應變只是在主向荷載作用下發生，但彈性應變在主應變和反復卸載－載入下都會發生。在三軸排水實驗的應力路徑常數時，彈性楊氏模量亦為常數，彈性應變可以通過以下方程式得到：

                                            (10)

式中：是反復卸載載入的泊松比，很明顯側向荷載作用對應變有了約束。