現代營建 318---流體容槽之動壓力分析(一)

流體容槽之動壓力分析(一)

□林瑞棋

一、專業名詞符號

A₁： W₁之最大位移。
dmax：水面最大位移。
EBP：容槽底以外之壓力（不包括容槽底之有效流動液體壓力）。
F：地震總作用力（ = ）
F₀,F₁： W₀與W₁之地震作用力（當發生加速度時之慣性作用力）
g：重力加速度。
h：容槽底至水面之高度。
h₀, h^"₀, h₁：自容槽底至W₀,

與W₁間個別之垂直距離。
IBP：包括容槽底之壓力（包括容槽底之有效流動液體壓力）。
k：彈力常數。
K₁： W₁之彈力常數。
k₀： W₀之彈力常數。

：矩形容槽墻之1/2長度。
m：振動實體之質量。
M₀,M₁：當P₀與P₁個別緊靠容槽底水平斷面上之彎曲力矩；當與個別緊靠容槽底水平斷面下之傾倒力矩。

：為符合相等重量

修正M₀數值。
P₀與P₁：推動與對流之個別作用力。

：為符合相等重量

修正P₀數值。
Q：說明之一種放大倍數。
R：圓筒形容槽之半徑。
S：速度曲線譜縱座標。
T：地震振動週期。
t：估算地震偏差時間。

：當地震時地面最大水平加速度。
W：圓筒形容槽內流體總重量；矩形容槽在指定寬度之流體重量（寬度尺寸與長度

垂直）。
W₀：流體相等重量產生在容槽牆上之推動作用力P₀（假設W₀穩固聯接在容槽底面以上h₀高度）。

：總計相等重量產生在容槽牆上之推動作用力

（W₀加容槽重量及支承構造物之附屬重量）；在h>1.5

或h>1.5R之細長容槽情形下，

仍應包括被壓制液體之重量；（相稱作用力，力臂，與力矩個別標示為

與

）。
W₁：液體擺動相等重量產生在容槽牆上之對流作用力P₁，（假設W₁以具彈力緊扣穩固連結於容槽底以上h₁高度之容槽牆上）。
y₀,y₁： W₀與W₁之最大位移。
y_st：當單位水平作用力下之靜態撓度。

：在水平面基本假設下流體面自由擺動之偏角。
P：流體之密度。

：當W₀與W₁充當在自由振動之二自由度系統，以假設聯合W₁之最大位移時，對n th形態振幅比率，闡釋為W₀之最大位移。

：對n th形態自由振動之圓周頻率。

二、緒言

        流體容槽之水平加速度造成水平動水力的作用力，作用在如水槽或油槽內向外一邊內壁與向內相對一邊內壁；合力，，產生轉變移動容槽內水平面;此一作用力為流體作用在槽內每邊動力流體作用力之和，其絕對值等於在容槽底面上槽牆斷面水平剪力；作用力作用在容槽底面以上若干距離則在容槽底面上槽牆斷面構成彎曲力矩，；此一彎曲力矩以在槽牆抵禦向外作用力一邊產生之壓應力與相對槽牆一邊產生之拉應力組成垂直力偶抗拒。
        在容槽底面仍會產生動流體作用力；該作用力相等於前述附加彎曲力矩之垂直力偶，並以彎曲力矩聯合構成作用在支承構造物之傾倒力矩；為方便傾倒力矩計算以增加作用力之垂直力臂而容許垂直力偶作用在容槽底面，代替增加此一力偶而分開計算彎曲力矩。
        剪力與彎曲力矩屬於在容槽牆與支承附屬物間之有效構造的影響力；剪力與傾倒力矩在支承構造物之影響具有同樣的重要；拙文呈現方法足以估計定數值與提供估算流體水平面之最大垂直位移。

三、一般步驟

決定因地震而引起在容槽內流體壓力變化的精確考究程序非常複雜，因此，拙文呈現步驟係基於包括若干近似法之簡化應用，無論如何，其結果予工程師之應用已足夠準確；此一方法得應用於容槽平坦底部，無變化矩形或圓形斷面之定向垂直槽墻的容槽動流體壓力設計分析；使用術語名詞列於第一節段，簡明公式列第四節段。
當容槽內容納重量W之流體時，在水平方向加速度動作下，確定有部份流體充當為尚穩固聯繫於槽墻之重量W₀的固體質量；假設容槽移動如同一剛性實體，以槽底及槽墻遭受相同加速度，該質量屆時運用一最大水平作用力直接或適當比例施於容槽底部之最大加速度，此一作用力應視為如一推動力，P₀；加速度又激起流體擺動而加添槽墻與槽底的動壓力，在該流體一定部份之重量W₁，其回應如同一固體擺動質量穩固聯繫於槽墻，再假設容槽本身行為如一剛體，最大振幅，A₁；質量相對於槽墻之水平離開距離決定最大垂直位移，d max；水平面擺動高度與施於槽墻之作用力因為包括流體移動而定義為對流作用力，P₁。

        考慮將容槽內移動流體作用力引導至理想化示於圖6.1；圖(a)為在容槽內流體擺動水平面狀態；圖(b)為以無彈力與有彈力質量以重量與個別代替圖(a)動力模式；圖(c)為容槽內流體因加速度作用力而引起之推動作用力，P₀，與對流作用力，P₁，二水平力之平衡動力。
        h₀與h₁表示P₀與P₁個別作用合力之高度位置與決定在容槽底面上作用彎曲力矩；如前列狀態，以傾倒力矩計算增加垂直力臂高度至容許動流體作用力作用在容槽底面下；因此，h₀與h₁每一力臂高有二不同數值，較小數值使用於估算在容槽底面上之彎曲力矩，與較大數值使用於決定在容槽底面下之傾倒力矩；較小數值不可計及在容槽底面上之動流體壓力；計算公式列於第四節段，此一情形以專業術語（excluding bottom pressure）表示；然而，較大數值以專業術語（including bottom pressure）表示加以區別。
        容槽重量與支承構造物之有效重量，若與流體重量比較通常為小數對增加W₀計算求得修正重量，

。

四、支承在地面上的容槽計算公式

        矩形與圓筒形容槽二類已經G.W.Housner,氏發表Dynamic Pressures on Accelerated Fluid Containers, Bull.Seismol.Soc.Am.47(1)：January 1957；而完成容槽內流體推動與對流作用力之方程式與相關數量；在此重述簡化後之形式與計算步驟列於第五節段；曲線重現方程式圖表列於第九節段。
        圓筒形容槽之狀況，應用於整個容槽內相等重量W₀及W₁與方程式所付予相稱之作用力與力矩；然而，在矩形容槽之狀況，其數量應用於個別寬度經已使用在計算流體重量中；致通常都使用總寬度或單位寬度二者之一。
        單位之任何尺寸應符合組成系統使用；實例分析計算使用foot-kip-second（呎－千磅－秒）英制單位。
        表列所有方程式編號與附錄F方程式編號一致。計算時應使用一致作用力，

；力臂高，

；與力矩，

。

五、支承在地面上之容槽（h/或h/R 1.5）

當一容槽坐於水平地面上之基礎時，容槽與基礎二者之移動基本性質為地面移動；因此，在圖6.1中重量W₀之動力模式回應如一穩固實體遭受最大加速度

，等於地震最大地面加速度；作用力P₀（圖6.1之(c)）獲自如產生W₀u/g。
重量W₁，存在於易彎曲支承上，其回應如同單一自由度（single-degree-of-freedom）系統，而可應用單一自由度構造物之動力方程式(a)計算，其與基面最大位移y_max為

式中：
        y_max＝相對於基面最大位移（ft）
        y_max=質量最大速度（ft/sec）=A₁（振幅）
        S=質量振動速度（ft/sec）=y_max
        T=振動週期（sec）

=振動頻率（red/sec）

=最大加速度（f/sec2）
上列y_max最大位移等於重量W₁相對與容槽牆之擺動最大振幅，A₁；作用力P₁得以前表列方程式6.10或6.21計算，在容槽底總水平剪力為P₀與P₁之和。
當容槽支承在地面上，其

或h

1.5R時，因地震引致之作用力與水平位移計算程序如下：
(1) 計算W₀與h₀二數值，其一為不包括在容槽底面上之流體壓力，與另一為包括在容槽底面上之流體壓力；當忽視在容槽底面上流體壓力時，高度h₀＝3/8 。
(2) 將上列計得W₀數值加容槽重量，計得總相等重量

與相稱

數值。
(3) 自W₀計得推動作用力，

，得自圖1.21 T=0或表1.2決定最大地震水平加速度，

。
(4) 決定在容槽底面推動彎曲力矩，與使用步驟(2)

數值計算傾倒力矩。
(5) 計算W₁與二h₁數值，其一不包括容槽底面上動流體壓力，與另一包括在容槽底面上動流體壓力。
(6) 自圖1.19平均速度曲線譜查得縱座標接近阻尼數值，S，獲得適當自然頻率，

，與振動週期，T。

(7) 使用S數值，計算位移最大振幅，A₁，自由擺動在水平面角位移，

，與對流作用力， P₁。
(8) 自

與

數值計算原水平面最大水平位移，d max；與在容槽底最大彎曲力矩、傾倒力矩，與剪力。
表1.2　在淺層長震波之速度

下列例題說明詳細應用程序。
（例一）
一圓筒形容槽直徑26 ft，與容納15ft高水量支承於地面上，假設基於圖1.19平均速度曲線譜以1/2%臨界阻尼回應，試決定水平面推動與對流作用力，彎矩與位移。
分解：
推動作用力
依方程式6.12

假設容槽重量為作用在W₀重心，其

總數值為：

= 298.5 + 21 = 319.5kips
使用方程式6.13

自方程式6.14

據圖1.2平均加速度曲線譜，當T=0時，

= 1.06 ft/sec² = 0.33g
使用

代替W₀，依方程式6.15

對流作用力
依方程式6.16

自方程式6.17

使用方程式6.18

使用方程式6.19

使用圖1.19平均速度曲線譜臨界阻尼1/2%查得
S = 2.6ft/sec

【參照方程式 (a)】依方程式6.20，水平面擺動之偏角

為
方程式6.21

P₁ = 1.2W₁

= 1.2(133)(0.141)sin

t
令sin

t=1，最大P₁=22.5kips
        M₁ = 22.5(9.45) = 212 kip – ft(EBP)
        M₁ = 22.5(11.2) = 252 kip – ft(EBP)
使用方程式6.22

在容槽底面上槽牆斷面最大彎曲力矩為

+ M₁ = 594 + 212 = 806 kip – ft(EBP)
最大傾倒力矩為

+ M₁ = 1120 + 252 = 1372 kip – ft(IBP)
基面最大剪力為

+ P₁ = 105.4 + 22.5 = 127.9 kips
概要說明
地面加速度0.33g造成105.4 kips之總推動作用力；其結果在容槽底面上槽牆斷面產生594 kip-ft最大彎曲力矩，與1120 kip-ft傾倒力矩；並造成22.5 kips對流作用力作用在容槽槽牆，而在容槽槽牆產生212 kip-ft，最大彎曲力矩，與252 kip-ft，最大傾倒力矩；此一作用力因流體以2.98 sec週期擺動，致水面自安靜水平面上升高1.84 ft.；該等作用在容槽上總彎曲力矩為806 kip-ft.，傾倒力矩為1372 kip-ft.，與在基面最大水平剪力127.9 kips，此一剪力相當於0.25g地震係數。

六、支承在地面上圓筒形流體容槽（h/或h/R>1.5）之適用程序

矩形容槽內流體深度超過二槽間距離或圓形流體容槽內深度超過直徑（2R）之3/4，流體全部質量在此一深度以下傾向回應如同一穩固實體推動壓力關係（參照第四節段）。
為估算推動作用力，P₁，之目的，容槽可以當作在流體面下1.5

或之一虛構槽底液槽（如水槽、油槽），與自虛構槽底延伸至真實槽底支承一固體質量；其計算程序參照第五節段應用於此事實以上部份以決定無彈力重量W₀與真實槽底以上h₀高度；較低部份之作用以事實重量低於此一水平面，且在其重心再呈現；此一事實重量與W₀組合為單一重量

在液槽真實底以上

高度；以

造成推動作用力，

。
        容槽分為較高與較低部份區域之概念不能應用在相當重量W₁與有關數量，此一連續將為液體全深度之函數；下列例題說明詳細程序與在分解使用圖6.6至6.15之示範（參照第九節段）。
例二
        一圓筒形水槽直徑26 ft.與容納30ft.高水量支承在地面上；計算在水槽內地震作用力與力矩，並以圖1.9平均速度曲線譜臨界阻尼0.5%基本回應，與使用圖6.6至6.15計算水槽內水面位移。
分解：
        因在前列情態，h/R=30/13=2.3>1.5，僅在水較高部份以1.5R=19.5 ft深度得考慮水流體移動，與水在較低部份10.5 ft.，假設為一完全被壓制的流體移動計算推動作用力，如圖6.2(a)所示；對流作用力之計算應基於水之全深(表6.1)；此一假設供予下列資料：
推動作用力
        R=13 ft.，h=19.5 ft.，R/h=0.667