統計精煉之Bouc-Wen模式應用於三向地震力下結構物之系統辨識

□林正紋／逢甲大學土木工程學系 助理教授
□陳弘仁／逢甲大學土木水利工程學系研究所 博士生
□黃志偉／逢甲大學土木水利工程學系研究所 博士生

摘要
        本文主要採用三軸互制之統計精煉Bouc-Wen模式進行結構物承受三向地震力作用下之結構系統辨識，文中採用國家地震中心進行全尺度鋼構架於三向地震力作用下之加速度反應經由95%之信心區間進行統計及重複篩選於Bouc-Wen模式中之參數，此種重複精煉之方式主要考慮三軸向之取樣誤差、回覆力之相互耦合以及結構系統之影響，因此藉由本研究所提出之數學模式，經過重複篩選及運算能夠得到結構系統之參數，如結構物之勁度以及自然振動頻率。

一、前言

        系統辨識應用於土木結構物之健康監測 [1] 以及損害偵查已逐漸成為研究之主流。建築結構物以及橋樑對於自然災害如地震，所造成災害之監測及檢視已是相當重要之課題；同時，結構系統老化及使用年限之評估亦逐漸成為近年研究之重點，座落於人口稠密之老化建築結構物之安全性深受國人所關注，唯有透過可靠的系統辨識才能正確地計算評估建築結構物之老化程度及安全性。但在使用系統辨識方法求解結構物特性參數（阻尼、勁度、頻率）時，由於模型的不確定性、樣本誤差及其他的量測誤差來源均會影響辨識結果的準確性，因此引用統計學上的方法來解決這些問題。例如T. Kijewski, A. Kareem[2]等人利用重新取樣程式（bootstrap）法，賦予了RDT法（Random Decrement Technique）與SA（Spectral Analysis）在辨識結構物之阻尼時，能夠產生複數個有用的統計值與信心區間，進而改善RDT與SA兩方法在捕捉結構物真實阻尼之能力；另外，L.Z. Guo, S.A. Billings[3]等人將樑劃分成數個空間區域並建立一個耦和映射格子（Coupleed Map Lattice）模型，在因疲乏因素產生破壞之狀況下進行辨識，並且使用正交向前迴歸（Orthogonal Forward Regression）最小平方演算法，進一步的確認每一個區域之破壞狀況。
        結構物之健康監測有兩項重要的應用[4]：(一)對於地震及颱風等天然災害造成建築物和橋樑等土木工程結構物之損害或破壞，政府的工程人員必須對於結構物之現況做出損害或安全的評估，但是損壞及毀損之處往往出現於無法目視或是視力不及之處，因此目視檢查對於破壞的範圍僅能得到相當有限的資訊，故採用目視推斷結構物的安全性，將是相當危險且不確實之方法。系統辨識法[5,6]是採用動態模型並根據動態行為的特性進行損害評估，因此避開了資訊不足的限制。(二)美國許多的道路和橋樑已相當的老舊，結構系統老化情形成為不可預期之隱憂，所以維修費用亦相當昂貴，例如，位於紐約的Williamsburg Bridge由於橋樑老化而需要非常昂貴的修護費用。因此，對於結構物之健康監測主要研究之範疇包含能夠以最經濟之方式提出結構物替換方案，並且最主要在於能夠提高大眾安全。

二、振動台試驗及三軸互制之Bouc-Wen模式

        系統辨識主要是一種利用現地量測或是實驗室測試結果以提高實驗解析之方法學，不過目前主要面臨之困難在於非線性系統的隨機模型、量測的不確定性及安全性與破壞評估[7]。因此，本研究以統計學的信心區間為基礎之模型精煉法應用於國家地震中心之三層全尺度鋼構架承受三向地震力作用下之系統辨識，測試鋼構架主要由版－樑－柱等結構元件所構成，每層樓之樑－柱構架的尺寸分別是長4.5m、寬3m以及高3m，而樑與柱之斷面尺寸分別為H200x150x6x9 mm及 H200x204x12x12 mm，同時每一層樓之地板是由尺寸為4m×2.5m×11.5m之混凝土所構成，並放置6930kg之混凝土質量塊，並且所採用之鋼構材以及混凝土之單位重分別為7.85t/m3以及 2.3t/m3，如圖一所示，經由計算可得第一、第二以及第三層樓之質量分別為11364.206kg、11364.206kg及11030.738kg，所採用之地震力包含1940美國 El Centro地震, 1995日本Kobe地震以及1999台灣集集地震。
        由於結構系統辨識高度依賴所採用系統模型之準確性，因此必須建立一個合理的、可行的以及足以詮釋系統整體特性之非線性模型，不過，如果對於結構系統的型式沒有給予足夠的資訊，則將會出現跟過低與過高參數有關的問題[5]。所以此處有值得注意的現象，亦即在所有的例子中出現過低參數的情況時，代表模型用來描述結構反應（如回復力）之特性參數的總數小於「真實的」結構系統，而過高參數所表現的現象正好與上述相反[5]。另一方面，在描述系統特徵的性質時，Juditsky等人[8]指出，非線性黑盒子模型化之步驟的品質，會在我們所欲試圖辨識之模型的「階數」（使用較大的參數總數描述模型，則該模型具有更多的彈性接近真值）與量測（隨機的）誤差（與參數的總數成比例）之間，總是呈現某一種程度交換的結果。由於這樣的結果，可重新帶領我們尋找一個初始有彈性的模型，並藉由精煉的方式，直到該模型無法更進一步的簡化改善。

圖一 在國家地震工程研究中心（NCREE）進行基礎模型實驗之結構物		         本文使用三軸互制的Bouc-Wen模型來表示結構系統的行為（如圖一所示之剪力形式的屋架），則它根據在三方向激發力的剛體運動得到x、y及z三個方向的位移，而且重點將會集中於xy平面上柱的剪力勁度。再者從不對稱結構物或結構的不對稱激發力所產生的轉動效應，已經藉由同步的訊號檢查將其排除掉。為了方便起見，考慮一個單自由度的結構物，而其運動方程式可由下式表示：
        
        此處m表結構的質量、表結構的位移、 表結構的速度、表結構的加速度、 表地表感應加速度、t表時間、表時間函數之回復力。表回復力r隨著時間的經過而變化的數學表示式，換言之，在x與y剪力方向是相當地互相牽制[9]，並包括從z方向而來的影響，將可展開成如下：
        
        上述的模型，將用於探索各回復力互相牽制的效應，與結構系統在估算參數時，過低與過高參數的影響。

三、模型精煉法及自然頻率的計算

        以統計學之信心區間為基礎的模型精煉法，其被運用於如方程式（2）以及（3）之三維互制的Bour-Wen模型中，並使用套裝軟體MATLAB中的迴歸程式做運算。根據在多項迴歸的背景下，以95％信心區間所估算出之結構參數作為測試，並決定參數在統計上所隱含的意義。對於一個參數而言，任意水準之機率區間C的信賴區間，它是一種根據樣本資料的區間計算法，因而產生了一個包括參數真實值之數值範圍的機率區間C，如圖二[10]所示。假如所推估的參數中，某幾個參數的信心區間包含了零值，則在統計意義上可移除之，而保留不包含零之信心區間的參數項。更進一步地，對於所篩選之參數的信心區間，藉由重新執行與分析的重覆步驟進行模型之精煉，直到所有的數據均維持在統計上不可剃除之狀態，即所有估算之參數的最終信心區間均不含零值。綜合上述所言，本文所提出之模型精煉法[11]應用至實務上承受三向地震力之三維空間結構物，其進行多項迴歸之具體步驟如下所述：
         (一) 將數據、、與代入公式(2)、(3)之Bouc-Wen模型；
         (二) 執行多項迴歸分析 觀察參數之信心區間；
         (三) 假如參數之信心區間包含“零”值，則移除所對應之參數項，並跳至步驟(二)反覆執行；假如參數之信心區間沒有包含“零”值，則跳至步驟(四)；

圖二 在標準常態曲線下，任意水準之機率區間C之信心區間的面積介於信心下限（–z*）與信心上限（–z*）兩點之間（摘錄自Moore and McCabe (2005)）		          (四) 得到最終之精煉模型。
        為了驗證本文所提出之模型精煉法在獲取結構特性上的能力，因此對於結構物（如圖一）的一樓在承受El Centro地表激發力時，其x方向（如方程式（2））之三軸互制Bour-Wen模型進行迴歸分析，如表一所列。所以在表一中，y為隨著時間經過而變動的回復力，而且 相當於方程式（2）的結構特性參數項。另外，R平方值[10]相當於y值之迴歸變異與總變異之比值（39.55％）,其可藉由y在 （j=1, 2, 3,…, 8）的最小平方迴歸來解釋。
        由表一中，保留信心區間不含零值的參數項，並且重新地執行迴歸將可產生如表二之結果。根據此項結果
，在第一輪的統計篩選過程中，保留了對結構的回復力有貢獻之參數項。可對目前的精煉模型繼續進行這樣的篩選程序，直到模型無法更進一步的改善，如表三所示。以此方式，則實際上有貢獻的參數項被賦予更多的統計意義。這可藉由參數的95％信心區間之範圍變短來說明（如表一、二中的x1參數），亦即顯示出估算參數的精確性。另外，如表三所示，最後的精煉模型僅僅含有兩項參數，其為一優良模型法之原因如下：模型徹底地被簡化了，僅管相對應的R平方值降低了，而下降的範圍不到1％，這足以成為一個令人滿意的模型精煉法。
表一 結構物的一樓在承受El Centro地表激發力，其x方向之三軸互制Bour-Wen模式的迴歸:regress y x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8


        同樣地，對於結構物一樓承受激發力之全部及部份記錄，其三軸互制的Bouc-Wen模型經過統計精煉後，可得到最後估算之x和y兩方向結構勁度與篩選出之參數項，如表4所列。該表值得注意之精華處，在於最後精煉的模型不依靠在不同激發力之分割，如同該精煉模型所顯示的R平方值。另外，當在計算結構勁度的整體加權平均時，如表四最後一列所示，則R平方值可視為一個加權係數。而一樓精煉模型之相關的參數項（如表四中最後第二列），則是由表中最接近整體勁度（如表四最後後一列）之迴歸勁度（如表四Kobe 1F、x(all)及Refined所對應的勁度），其模型的參數項來獲得的。接著使用同一種方法，分別辨識出二、三樓的勁度，如同表五所示。
表四 結構物一樓承受激發力之全部及部份記錄，其三軸互制的Bouc-Wen模式經過統計精煉後，最後估算之x和y兩剪力方向結構勁度與篩選出之參數項

表五 結構物二、三樓最後估算之x和y兩剪力方向結構勁度

        在本研究中，此最新發展之模型精煉法已證明了它在獲取結構特性上的能力，及對於數列模型之廣泛多變性的適應性，而且在結構的振動控制中，提供了一個經濟的設計方法。事實上，在一組樣本資料中，以95％信心區間為基礎的模型精煉法，其在獲取結構特性的失敗率只有5％（1-95％）[10]。因為每一組試驗皆是獨立且帶著5％的失敗機率，所以使用三組的激發力將會只有0.0125％的失敗機率（5％×5％×5％）
        因為已經獲得結構物每一層樓在x、y兩剪力方向的結構勁度，因此是有可能經由方程（4）[12]計算出相對應的自然頻率：
        
        此處det表行列式，K表勁度矩陣，M表對角質量矩陣，而表示自然頻率。使用方程式（4）計算第一、第二及第三振態的自然頻率，如表六、七中標明「模型精煉法」之列所示數值，而此兩表各自代表x與y的剪力方向。

四、採用快速傅立葉轉換以及SAP2000結構分析軟體計算自然頻率

        為了比較本研究方法之可信度，所以對每一層樓（如圖一）的加速度訊號，使用快速傅立葉轉換（FFT）之方法計算系統的自然頻率，同時吾人亦利用SAP2000結構分析軟體進行靜力分析以求得結構物每層樓之勁度，首先於三層鋼構架頂層兩節點分別施加X向10kN之側向力，並可求得每層樓X向之側向位移如圖三、四以及五所示，並利用每層樓之X向水平總柱剪力以及層間相對位移求得各層樓X向之水平勁度分別為、以及，同時Y向亦可採用此方法求得Y向各樓層之水平勁度分別為、以及，此外，將X向以及Y向之水平勁度代入公式（4）可分別求得三層鋼構架採用SAP2000結構分析軟體之各方向三個模態之自然振動頻率，而採用FFT、SAP2000以及本研究所計算出之結構物振動頻率可表示如表六、七所示，由表中能夠得知，本研究採用之方法所求得之結構振動頻率與FFT所計算之結果較為接近，其X以及Y向第一模態之頻率相對誤差僅有3％，而由於SAP2000為有限元素結構分析軟體，所計算之各樓層位移較實際為小，因此各方向之頻率較大，而本研究所提出之三軸互制之Bouc-Wen模式能夠較客觀且正確地求出結構特性。

圖三 結構物一樓X向水平側向位移
圖四 結構物二樓X向水平側向位移

圖五 結構物三樓X向水平側向位移		 表六 使用FFT、模型精煉法及SAP2000計算x方向頻率之比較
表七 使用FFT、模型精煉法及SAP2000計算y方向頻率之比較

五、結論

        本文所提出以95％信心區間的模型精煉法，已經應用在承受三維地震激發力之剪力型式的結構系統上。上述的方法，對於三維互制之擴大的Bouc-Wen模型具有精煉及簡化的功能。再者，考慮到起始模型總不可避免地具有過多的參數，而為了成功的辨識，故於每一輪多項迴歸中移去多餘無意義之參數，反覆此項動作，直到所有篩選出之參數均保有在統計上不可剃除之意義，該意義包含了可能存在的模型不確定性、取樣誤差及量測誤差的來源。此法已於在計算系統自然頻率時，顯示出其效用，原因如下：當與快速傅立葉轉換所得之結果作比較時，此法在x及y剪力方向之第一振態的自然頻率相對誤差大約只有3％。此外，在El Centro、Kobe及TCU084等三個激發力的實驗案例中，此最新發展之模型精煉法僅僅只有0.0125％的失敗率，所以該法在獲取結構的特性上，不太可能產生失敗的結果。故從初始模型到模型精煉及利用精煉模型計算自然頻率，本研究所發展之辨識方法均能提供可靠的指標，也就是該指標在做安全性評估時，可以指出結構物的現況。

六、誌謝

        非常感謝行政院國家科學委員會贊助 (research grant NSC 96-2221-E-035-038)此篇研究論文。■

七、參考文獻

1. S.A. Ashrafi, A.W. Smyth, R. Betti, A parametric identification scheme for non-deteriorating and deteriorating non-linear hysteretic behaviour, Structural Control and Health Monitoring 13 (1) (2005) 108-131.
2. T. Kijewski, A. Kareem, On the reliability of a class of system identification techniques: insights from bootstrap theory, Structural Safety 24 (2002) 261–280.
3. L.Z. Guo, S.A. Billings, Detection of fatigue cracks in a beam using a spatio-temporal dynamical system identification method, Journal of Sound and Vibration 299 (2007) 22–35.
4. R.W. Longman, Notes on the health monitoring, Department of Mechanical Engineering, Columbia University, New York, 2002.
5. J.W. Lin, Adaptive algorithms for the identification of nonlinear structural systems, PhD Thesis, Columbia University, New York, 2001.
6. J.N. Yang, S. Lin, Identification of parametric variations of structures based on least squares estimation and adaptive tracking technique, Journal of Engineering Mechanics ASCE 131 (3) (2005) 290-298.
7. N.E. Huang, Z. Shen, S.R. Long, M.C. Wu, H.H. Shih, Q. Zheng, N.C. Yen, C.C. Tung, H.H. Liu, The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis, Procedures of the Royal Society of London 454 (1998) 903-995.
8. A. Juditsky, H. Hjalmarsson, A. Benveniste, B. Delyon, L. Ljung, J. Sjoberg, Q. Zhang, Nonlinear black-box models in system identification: mathematical foundations, Automatica 31 (12) (1995) 1725-1750.
9. Y.J. Park, Y.K. Wen, A. H-S. Ang, Random vibration of hysteretic systems under bi-directional ground motions, Earthquake Engineering and Structural Dynamics 14 (1986) 543-557.
10. D.S. Moore, G.P. McCabe, Introduction to the Practice of Statistics, W.H. Freeman and Company, New York, 2005.
11. J.W. Lin, C.S. Tsai, C.W. Huang, Health diagnosis of structural systems using a repetitive model updating approach, Seismic Engineering, ASME, San Antonio, Texas, USA, July 22-26 (2007) No. PVP2007-26134.
12. A.K. Chopra, Dynamics of Structures, Prentice-Hall, 1995.