結構基礎之有效設計

□林楚儒／亞新工程顧問有限公司

一、前言

        本文傳統的擴展基礎(或基腳)之手算方式的結構設計理念、計算方式及範例足以供設計者做有效設計參考，然精確地設計一般性結構基礎包括樁基礎，仍需接通用之大型商業程式例如SAP2000或STADIII之後處理程式以進行設計工作。

二、擴展基礎之型式

        以獨立基腳切入較簡單明瞭，當然樁基礎亦可比照辦理，而擴展基礎之ㄧ般型式請參見圖1。在設計開始時視其荷重大小可假設基礎版之尺寸先行試算，若土壤反力大於地耐力，或應力如穿剪力(Punching Shear)等不符規範者，以試誤法再修正尺寸，務使每一項規範標準均能符合，若反力大於地耐力太多，則考量採用樁基礎設計。
        擴展基礎或稱為擴展基腳(Spread Footing)的型式如圖1所示，為堅硬土壤例如礫石層可提供結構物支撐時，受載重時不致至於超過容許沉陷量，並且於颱風或地震來襲時基腳底版不會翻倒或傾斜，始能採用擴展基腳設計，否則考慮採用樁基礎。
        圖1(a)中一般擴展基腳構造簡單、施工容易、造價也低廉，唯一的缺點是墩、柱底的垂直荷重及彎矩很大時，或墩、柱底附近之穿剪應力太大或底版之下層鋼筋需要量多，則全體基礎版的厚度採用一致，結構勁度的效率較低，因此混凝土與鋼筋量就會有所浪費；圖1(b)中就比較合乎結構力學上的行為，因應力大之處採厚度大之基礎版，而發揮出較高之結構效率，及材料上也較節省的成果。缺點是施工較不易，須釘基礎頂版傾斜之板模，為維持澆灌混凝土的施工容易性與傾斜頂版美觀一致性的傾斜表面，最後一輪所澆灌的混凝土可能須設計坍度較高之配比；圖1(c)中聯合之擴展基腳(Combined Spread Footing)係多墩、柱本應為各單一之擴展基腳所重疊致融合成一個基礎版，在結構上發揮極高之效率，因為同樣的厚度，基礎頂版之鋼筋可承受負彎矩，而底版之鋼筋亦可承受正彎矩，但穿剪應力或寬梁剪應力不易求出。對於大小不同之墩、柱荷重，則基礎版寬度可酌量調整，例如荷重小的墩、柱處之礎版寬度則予以縮小，使基腳平面看起來為梯形構造。
        其他諸如油槽的八角或六角型基腳，以及火力發電廠或焚化廠等的鋼結構廠房柱與眾多機械基礎聯合在一起的筏式基礎，利用版的有限元素法分析，再接後處理程式設計甚為精確有效。

三、擴展基礎之作用力

        設計時基礎應考慮之作用力包括：1.由墩、柱傳下來之垂直極限荷重2.墩、柱傳下來之水平極限剪力3.地震或其他橫向力所產生之極限彎矩4.乘上極限載重因素後之覆土荷重4.覆土因故被刨開並合併之地震所產生最不利之極限荷重。茲就極限荷重、擴展基腳之反力、剪力、彎矩作用力分別說明如下：
(一) 極限荷重
        由墩、柱傳下來之垂直極限荷重以強度設計法設計基礎時，須將墩、柱傳下來之各種荷重予以組合，以交通部頒發之「公路橋梁設計規範」載重組合對橋墩基礎第I組為例：1.3(1.0呆重+1.67車輛活載重+1.0離心力+1.0覆土重+1.0浮力等)及第VII組：1.3(1.0呆重+1.0覆土重+1.0浮力等)+塑性鉸(Plastic Hinge)彎矩、或剪力、軸力等；以內政部頒發之「結構混凝土設計規範」的極限載重組合對一般性結構物基礎為：0.75(1.4呆重+1. 7活載重+1.87地震力)，0.9呆重+1.43地震力，0.75(1.4呆重+1. 7活載重+1. 7風力)，或0.9呆重+1.3風力等。
(二) 耐震設計理念
        耐震設計觀念對於橋墩基礎非常重要，此處必須強調若墩、柱之塑性鉸彎矩大過未折減地震力時，可採用後者之數據。塑性鉸彎矩MP為1.3倍的墩、柱斷面彎矩上之標稱極限強度容量(Nominal ultimate strength capacity for moment)。此耐震設計之設計理念(Design Philosophy)乃：橋梁系統採強梁弱柱設計，及橋墩頂鉸接的橋梁甚多，強震之下墩、柱腳本可產生塑性鉸，然橋墩頂已有支承鉸，柱底再產生塑性鉸就必須好好設計，所謂塑性鉸係墩、柱底結構受過大之橫向極限荷重時，拉力側之鋼筋達塑性狀態，而壓力側混凝土尚未到降伏(Yielding)程度而致被壓碎，此時雖然橫向外力仍再增加，但因墩、柱底已達材料設計之極限強度，拉力側之鋼筋也早已降伏，卻因韌性關係，被啟動繼續拉長2~3倍以上以吸收能量，鋼筋也未拉斷，此時因墩、柱底早已達到彎矩之極限強度，因此彎矩無法隨外力輸入之能量而增大，呈停格之狀態，只是將吸收之能量轉換成熱能，以削減地震之衝擊，此階段停格狀態下的極限強度之彎矩謂為塑性鉸彎矩，但基礎不能被翻倒，否則墩、柱能產生塑性鉸以發揮吸收極大之地震能量，並維繫上部結構不垮之安全性也就失去意義，因此若墩、柱設計超過所需之尺寸，或插入過量之鋼筋，將使柱腳塑性鉸過大，而致設計超大之基礎，因此墩、柱設計不可不講求。
        但對於一般性結構，樑柱前後左右，甚至連地樑都連起來，結構系統採強柱弱梁設計，柱底不需有塑性鉸彎矩設計，因此依內政部頒發之「結構混凝土設計規範」的地震力乃在服務狀況(Service load condition)，或工作應力狀況下，非交通部頒發之「公路橋梁耐震設計規範」下使橋柱底產生塑性鉸之極限地震力。
         (1) 偏心距e小於的情況
        墩、柱傳下來之剪力尚須乘上基腳厚度並加到彎矩Mu裏，基腳所受之反力，如圖2所示，基腳底與基腳土壤接觸處之斷面A-A視為材料力學的梁斷面，並受到外界極限軸向力Pu及彎矩Mu，此斷面模數(Section Modulus) S為式中
        B=基腳之寬度 (m)
        L=基腳之長度 (m)
        
        而基腳所受之偏心矩e
        
        式中
        Pu：極限垂直力荷重(tf)
        c1：翻壓側土壤之反力(tf/m2)
        c2：翻起側土壤之反力
        s：土壤之極限承壓耐力(tf/m2)
        e：偏心距離(m)
        墩、柱極限垂直力Pu之左側的基腳版剪力
        
        地反力對Q點取彎矩，∑MQ=0,則整理後，墩、柱極限垂直力Pu之左側的基腳版彎矩：
        
        
        圖4墩、柱極限垂直力Pu之右側的基腳版剪力
        
        地反力對Q點取彎矩，∑MQ=0,則整理後，墩、柱極限垂直力Pu 之右側的基腳版彎矩：
        
        
        若c2小於零時，則土壤無法拉住基礎版，此臨界點之判定由式2，設定為零，則
        
        而由偏心距離e=可定出若e>，式4~式6須改寫。
        (2) 偏心距e大於的情況
        
        
        
        對T點取彎矩
        
        
        而
        由圖7墩、柱極限垂直力Pu之左側的基腳版剪力
        
        地反力對Q點取彎矩，∑MQ=0,則整理後，墩、柱極限垂直力P∑之左側的基腳版彎矩：
        
        由圖8墩、柱極限垂直力Pu 之右側的基腳版剪力
        
        地反力對Q點取彎矩，∑MQ=0,則整理後，墩、柱極限垂直力Pu之右側的基腳版彎矩
        
        
(3) 穿剪應力
        垂直極限荷重Pu過大而基腳版過薄時，導致墩、柱將混凝土版壓穿如圖10所示，其解決辦法有兩種─即第一、如圖10(c)配垂直鈎筋；第二、將擴展基腳版均勻加厚或採圖1(b)之方式予以局部加厚，前者之均勻加厚方式為最簡單之方法。
        
        混凝土版遭受穿剪力之作用猶如沖壓廠將半成品的薄鐵皮沖壓為成品一般，有被沖壓穿出之趨向。墩、柱底係以45°向墩、柱四周外，並向下放射出去，受穿剪應力最嚴重之處在平均離墩、柱四周各d/2的垂直面上，d為扣除混凝土底層保護層及鋼筋合力中心到鋼筋外緣之有效深度，如圖10(a)所標示的虛線abcd周長範圍內之四個垂直面上。但在此虛線周長範圍內之剪力，因有墩、柱底的垂直荷重以壓力方式抵銷部份剪力之故，因此實際所受之剪力較小，但虛線abcd周長以外之系統剪力往基腳末端呈快速縮減情況，因此設計上之穿剪應力以矩形abcd往下切斷之垂直壁面所受之穿剪應力為臨界之剪應力(Critical Punching Shear)。
        穿剪應力受彎矩影響會有如圖11(b)畚斗狀分佈之情形，最大之乘因素的剪應力如下之計算：
        
        此處
        Ac=abcd往下切斷之垂直壁面所圍之臨界斷面積=2d(c1+ c2+2d)
        界斷面積=2d(c1+ c2+2d)
        J =該臨界斷面上類似極慣性矩=該臨界斷面上類似極慣性矩
        (Polar Moment of Inertia) =
        C1R=墩、柱中心至右邊的穿剪應力臨界線距離
        
        值得注意的乃一般極限容許剪應力值為0.53(kgf/cm2)，但因穿剪應力受混凝土四面所圍束之故，其容許之穿剪應力可提高2倍為1.06。穿剪應力若超過極限容許剪應力值時，須如圖10(a)所標示的虛線abcd周長至墩、柱10公分以外之範圍內配垂直剪力繫筋，或將擴展基腳版加厚亦可。
(4) 寬梁剪應力
        寬梁剪應力(Wide Beam Shear Stress)以類似一般梁所受之剪應力處理即可，校核如圖10(a)所示距離墩、柱邊一個d長度之斷面F-F上之剪應力，所謂寬梁者乃基礎版不夠寬時，可能距離墩、柱邊整個梁寬上的一個d長度之斷面上的剪應力會超過容許值，而距離墩、柱邊一個d長度之範圍內之寬梁剪應力不會控制，係因墩、柱垂直壓力以45向下擴散時，壓力可抵銷部份剪應力，極限容許剪應力為0.53。而虛線FF斷面往左(右)側之剪力向基腳末端卻快速縮減；彎矩作用方向為順時鐘時，寬梁剪應力要校核在墩、柱右側。當然寬梁剪應力超過極限容許值時，以直接將基腳版加厚即可，不建議配加垂直剪力繫筋，因範圍太大且與穿剪應力區有重疊，而增加施工上的複雜性。

四、手算範例

        本節即將以實例演算，以設計一個實際之獨立擴展基腳：
        已知橋墩之尺寸為2x2m，其垂直極限荷重Pu=500 tf；極限彎矩即上部結構傳下來之塑性鉸彎矩Mu=300 tf-m；極限橫向力=20 tf；極限地耐力s為120 tf/m2；混凝土28齡期的強度 =240 kgf/cm2；覆土深hs為0.6公尺；覆土重為1.9 tf/m3。
(一) 基礎尺寸試算設計
        考慮地反力偏一邊分佈，依經驗判斷須放大基礎面積(Mus/(Mff)倍，Mf=300tf-m；f =100 tf/m2，以試算所需基礎面積為
        
        因考量地震來自各個方向，所以採用長寬皆相等的設計，及L=B=3.2 m>3.03，O.K.版厚試採
(二) 代入擴展基腳公式以求出地反力、基腳版之剪力及彎矩
        1. 地反力之求出：
        先調整基腳版底之荷重值，即修正作用在底版底部之Mu = 300+20x0.8 = 316tf-m
        Pu=500+1.3x3.2(2.4x0.8+1.9x0.6)3.2–1.3x1.9x2.02x0.6=500+12.73x3.2-5.928 =534.81tf
        其中12.73 tf/m為沿東西向之底版本身重量與覆土之均佈載重，須扣除墩、柱所排開之土荷重，而1.3為乘因素荷重(Load factor)係數。
        依式1，
        校核e值的確大於，則地反力須依式8：
        110.42tf/m2<120，O.K.
        110.42tf/m2<120，O.K.
        
        距離墩、柱邊右側一個d的FF線剖面之剪應力，即為基腳版的寬梁剪應力，先求位於該處之剪力，依式12：；但此處X=3.2/2+2.0/2+d=1.6+1.0+(0.8-0.075-0.032/2) =2.6+0.709=3.309 m，超過基礎本身長度，故為不須檢查寬梁剪應力之情形。
        從式9
        ，距離墩、柱邊右側面上之X=3.2/2+2.0/2 =2.6 m處的底版彎矩為設計之配筋量依據，依式13
        
        上式之12.73/2項目須予以扣除，因版之均佈載重與地反力方向相反，可減低版內之彎矩。
(三) 基腳版配筋
        (三) 基腳版配筋
        校核開裂彎矩，
        =15.86 tf-m
        先計算出
        ；m= =20.59
        將代入Mu，於是鋼筋量比率為
        =0.00268
        最小鋼筋量需求
        
        靠墩、柱右側面之鋼筋量比率為
        =0.00965
        
        底層筋採用32@10 cm。
        因基腳頂版為版彎矩之壓力區，理論上不需拉力鋼筋，故採溫度筋配置：
        ，因此上層配置採16@12.5 cm 設計，唯須注意19筋以上，有的結構物才採用高拉力鋼筋。
(四) 基腳版穿剪應力校核
        依圖10(a)中的bc線剖面之剪應力，及式14，沿bc線之穿剪應力：
        Ac=2d(c1+ c2+2d)=2x70.9(200+200+2x70.9)= 76827.24 cm2
        =2d(c1+ c2+2d)=2x70.9(200+200+2x70.9)= 76827.24 cm2
        vu(bc面)==20.37 kgf/cm2
        上式中之3.98 kgf/cm2項目乃是基腳版及覆土之向下壓力，可抵消部分剪力，故須予以扣除。
        極限容許之穿剪應力為
        穿剪應力應力vu(bc面)> 1.06，N.G.，但Jc與d2或d3有線性關係，而Ac只與版厚度d成正比，故底版厚度整體上約與穿剪應力開平方根成正比例，而應調整厚度為：
        ，因此調整基腳版至少厚度為1.0公尺，再重覆 2~ 4的步驟，但因版厚加大，故底層鋼筋量可降低。
(五) 基腳版寬梁剪應力校核
        因寬梁剪應力依圖10(a)中的FF線剖面已超出底版邊緣，表示對基腳底版的寬梁剪應力之效應全被墩、柱傳下來之壓力抵銷掉，因此本實例之寬梁剪應力不用校核，即便如此若本例基礎版長度達5公尺以上，則寬梁剪應力便會出現，此時以梁的理論檢核即可。

五、版有限元素解法

        由以上各節所計算之基腳版的地反力、版所受之剪力只是假設承載的土壤為絕對堅硬體，才有可能地反力呈直線分佈，事實上土壤為彈簧反應如圖12之彈簧床墊所示，遇有拉力則將虛擬彈簧刪除，若為樁基礎則不用刪除，因此土壤的地反力呈曲線分佈，顆粒性土壤地反力如圖13(a)所示之分佈方式，黏性土壤因底版四周垂直表面被黏住之故，其地反力分佈方式則如圖13(b)所示。

圖12 基礎版下土壤以彈簧模擬

圖13 基腳下土壤的實際反力圖
        依傳統的手算方法，所假設全基腳版皆為一致性的反應，但其實不然，如圖14，設墩、柱傳下來之彎矩係順時鐘方向，以BC線右邊的斜線範圍內之底版彎矩有集中化的現象，當然BC線的鋼筋量較大，而墩、柱範圍內雖有底版彎矩尖峰，但因墩、柱有高度，可視為大量增大之版的有效厚度，因此該尖峰彎矩可略去不計。縱然如此，可是基礎版為兩向反應，並非單純的梁設計，因此圖14中E及F點往東向之彎矩也需要特別照顧之處，但傳統手算方式絕無法考慮到，又實際加載荷重時，墩、柱底之軸力與彎矩須模擬成圖15之情形，以合理詮釋墩、柱底處之底版的剪力及彎矩不致有太突兀之尖峰變化的不合理行為。
        又現今流行強度設計法，所揭櫫的是比較合理地計入鋼筋在極限強度下的非彈性行為，但工作應力法並非完全不可取之方法。考量手算法之應力在基腳底版南北向之寬度上係假設均勻分佈，事實上靠墩、柱面如圖14單斜線及雙斜線範圍內之應力均會有集中化之情形，假設有比平均值大約30%，但工作應力法比強度設計法假使又恰巧浪費材料約30%，兩相衡量之下，工作應力法反比較具適當性；反觀強度設計法是較合理地利用材料，但被傳統的擴展基腳的手算法拖累，無法計入圖14靠墩、柱面打雙斜線所示之條狀帶之應力集中現象，設有大30%的現象，強度設計法反而因精確地利用材料，以致偏不安全側達30%。這並非貶低強度設計法的價值，而是在準確地利用材料之效率，必需配合精確的彈性分析理論，以求出應力集中分配之處，並加強配筋，以彰顯強度設計法的長處。
        圖17所示的版有限元素法將基礎切割成格網狀，應力比較集中之處，格網切割較密，以利電腦解出二維空間的應力分佈情形，所需之分析時間尚不須一分鐘，再用後處理程式(Post processor)將每一片有限元素上之配筋量繪出，再用AutoCad讀出或印出，以利繪製完成之工程圖。
        內湖焚化廠、木柵焚化廠、台中火力發電廠之50x50公尺以上之大片基礎，小至南二高關廟收費站附近四座型跨越橋之秤錘狀基腳5x5公尺也是採用有限元素法中的版元素做2D設計鋼筋量。
        只要將Sap2000接以後處理程式設計，並納入極限設計的模組，可合理做成基礎的2D與鋼筋之設計。