預力橋梁的墩柱底之彈簧係數求解

□林楚儒／技師

一、前言

        預力橋梁的墩柱底之彈簧係數很重要，因為混凝土連續梁的潛變乾縮及施拉預力或溫度變化時會拉扯橋墩，強大的柱底彈簧係數，如水平彈簧係數t/m及旋轉彈簧係數t-m/radian等會導致墩柱產生強大的擷抗力，使預力被吸收掉的部份加大，因此合理的柱底彈簧係數應詳加以計算。
        但欲求出某一墩柱底之整體彈簧係數，必須先求出單樁的水平彈簧係數kh (單位為kgf/cm3 )，本文介紹一個先假設樁入土至受水平力不動點之深度，輸入該深度內各土層之平均打擊數N(Blow count)，程式會自動計算kh，並估出新的不動點深度值，以利使用者修正打擊數N的土層厚度，大概2、3次迭代即可得到滿意之數值，筆者所完成的單樁的水平彈簧係數可免費贈送給讀者，有意者請到yahoo網站搜尋林技師三個字，即可找到筆者的部落格，請在留言板留言，以便筆者以電傳贈送。
        為何要改變傳統的柱底fixed support為彈簧模式，請詳閱下節的結構理論，至於單樁的水平及垂直的兩基本彈簧係數，請看次一節之介紹，最後再介紹整體基礎版底下的6個總彈簧係數─即Kx，Ky，Kz，此3個方向之單位為t/m，而Z軸為垂直地面方向；另3個旋轉方向之單位為t-m/radian，KRX，KRY，KRZ。

二、彈簧模式與傳統fixed support的結構上不同之解說

        框架式橋梁如圖1所示，其墩柱接地處都模擬成固接(Fixed)支撐，事實上支撐不會完全不動，應如圖2所示較合理。
        圖3及圖4，梁受熱膨脹時向外鼓出去，梁兩端的箭頭代表膨脹方向，而非力量，柱底箭頭像半個剪刀的符號，乃柱底為抵抗梁膨脹位移量所感受到的剪力，由於圖3的框架是100%的固定，所以柱底的擷抗力較大為10噸，而實際墩柱底的樁所表現的是彈簧行為，是較柔軟，故所感受到的剪力僅為8噸，並請注意圖4之柱底還能各往外移動0.4公分，混凝土的潛變、乾縮及施拉預力時，梁的變化情形恰巧與圖3及圖4的方向相反，但施拉預力時，梁兩端之箭頭向內，且代表力的大小，而非僅內縮之變形方向。
        現以平面構架(Plane frame)之每根桿件方向為由下至上，由左自右，本文採用6x6的簡化之平面構架的理由是較簡明，事實上結構分析應採12x12的空間構架。但對其6x6的全域(global)自由度而言，設梁與柱皆等長，以利書寫，第一根是柱桿件之global勁度如(1)式[1]所描述：
        
        
        三根桿件合成之總和global勁度矩陣，如圖5所描述，請特別注意自由度編號1，2，3，10，11，12的矩陣內容，因固接完全無位移之故，要全刪掉，以免求反矩陣時 會除到零，物理上意義為rigid body motion，致無法定出相對位移，即不刪掉的話，等於所接的地也在等量移動，致無法求出反矩陣。
        若考慮彈簧效應的話，在自由度編號1，2，3，10，11，12的矩陣對角線上內容加上三向彈簧係數，即水平垂直KX，KY與轉動KRZ等如圖6所描述，此處請注意自由度都不用刪除，係因為彈簧也有兩端力，早就將一端視為不動點刪掉了，只剩單一個與柱桿件的勁度元素在矩陣對角線上相加，就不會有結構上的rigid body motion， 以上圖5、圖6打斜線部份為梁兩端與兩柱之頂端相接，因有相同自由度編號，需予以相加成。
        柱底以彈簧模擬，才能找出受彈簧影響而削弱之柱底反力，以長達1.05公里之金門大橋之柱底以彈簧模擬如圖9所示，實際模擬潛變、乾縮、溫度變化及施拉預力情形而言，因靠大金門側之橋墩及基樁較長，且海底岩盤較小金門側弱，故溫度變化時，橋往大金門，即向東側偏移，一般箱梁伸縮縫處，梁都留20公分縫隙，但伸縮縫則能伸縮45~70公分，若遇到夏天，大金門側有可能膨脹超過20公分，而小金門側則尚未到10公分，大金門側伸縮縫處，箱梁縫隙被填滿，致將昂貴的金屬伸縮縫頂起、頂壞，影響行車安全，職是之故，除了金屬伸縮縫要前置量(Preset)外，連大長度的箱梁縫隙也要前置量如表一所示，有人會說：那箱梁縫隙乾脆把它留很大，不是可永絕後患嗎？事實上箱梁縫隙不能留太大，以免減低金屬伸縮縫的勁度，使行車的舒適度降低，例如35C時，安放最後一節塊之際，大金門側相鄰之引橋及主橋相接處，橋要做長一點，使縫隙維持7.5公分，等到溫度降到20C時，縫隙因大梁收縮之故，而自動加大到20公分之譜，反之若在35C時，橋梁做得太短，就說縫隙做成20公分吧！等到溫度降到20C時，縫隙就變為32.5公分， 使金屬伸縮縫勁度大大地降低。
        不可諱言的：框架式橋梁之傳統的fixed supports與考慮彈簧的兩種模式，在靜載重及受單一向之橫力作用時，反力沒什麼不同，但所受單向橫力的側向位移，卻有明顯不同，至於受到溫度及混凝土的潛變、乾縮以及施拉預力時，就顯現明顯的不同。

三、單樁的彈簧係數

        單樁的基本水平彈簧係數kh，其單位是每平方公分之地盤上有若干kg/cm之勁度的彈簧，以圖7 的鐵軌而言，受枕木支撐就是梁作用在彈性基礎上，高等材料力學有專門一節討論Beams on elastic foundations，如圖8之是為靜止點長度，微分方程上，其中D為鐵軌所安放在枕木上寬度，或樁之直徑，所求出之。
        在深度內的土壤厚度中，土壤可能有很多種分類，例如分為黏土(clay)、砂土(sand)或SM等等，但可惜的是目前只有黏土跟砂土兩種經驗公式[2]：
        …………………………………………………………………適用於黏土層
        …………………………………………………………………適用於砂土層
        其中N為樁打擊數，凡不是黏土層，應用本兩公式時只能選為砂土層。
        以上只是合理可資利用之經驗公式，真正的數值應實際以現地實驗求出為準，水平彈簧係數kh，其單位為kgf/cm3，意味著每平方公分的平均彈簧係數值，事實上水平彈簧係數會跟深度有密切關係，單樁之修正後的水平彈簧係數，為
        …………………………………………………………………..….(4)
        單位為t/m，至於單樁的垂直彈簧係數kv：RC樁的 a= 0.031*(L/D)-0.15，而Kv= a * Ap * Ep / L[3]，其中L為樁長度。



四、基礎版底群樁之6個集中的彈簧係數

        對3度空間(3 dimensional space)結構分析有用到之每個support上都有6個集中的彈簧係數，即6個總彈簧係數─Kx，Ky，Kz，此3個方向之單位為t/m，而Z軸為垂直地面方向；另3個旋轉方向之單位為t-m/radian，KRX，KRY，KRZ。請注意通常樁鋼筋都有伸入基礎版1.8米之譜，可視為樁頭固接(因可傳遞彎矩之故)，單樁之樁頭彎矩為K4，將前述公式改寫為：
        ………………………………………………………. (5)
         其中h為樁頭裸露出地面之高度。

        因此群樁之基礎版下水平彈簧係數為KX = Np*K1，對Y軸之彎曲彈簧係數為KRY = Np*K4+Iy*Kv，對Y軸而言，詳見表3
        群樁之基礎版下水平彈簧係數為Ky = Np*K1，對X軸之彎曲彈簧係數為
        KRx = Np*K4+Ix*Kv
        因此對Z軸而言，詳見表4，群樁之基礎版下垂直總彈簧係數為
        KZ=Np*Kv
        對Z軸之扭轉彈簧係數為KRZ= IZ*K1

五、結論

        單樁的基本平均水平彈簧係數要先求出後，才能求解出基礎整個底版下6個彈簧係數，先假設樁入土至受水平力不動點之深度，輸入該深度內各土層之平均打擊數N (Blow count)，程式會自動計算新的kh值，並估出新的不動點深度值，以利使用者修正打擊數N的土層厚度，大概2、3次迭代即可得到滿意之數值，該程式可免費贈送，以下為input file：
XXX Bridge initial horizontal spring(kg/cm3) for a single pile
A. PIER P1~P3 COVER 6.0M TEST HOLE DB1
DIAMETER 1.5 STATIONARY 3.838 EC 2.754E06
1. SAND 3.838 BLOWCOUNT 25
B. PIER P4~P5 COVER 4.0M TEST HOLE DB2
DIAMETER 1.5 STATIONARY 3.708 EC 2.754E06
1. SAND 1.3 BLOWCOUNT 10
2. CLAY 2.408 BLOWCOUNT 22
C. PIER P6~P8 COVER 2.5M TEST HOLE DB3
DIAMETER 1.5 STATIONARY 4.521 EC 2.754E06
1. CLAY 0.35 BLOWCOUNT 5
1. SAND 4.171 BLOWCOUNT 6
D. PIER P9~P11 COVER 0.0M TEST HOLE DB4
DIAMETER 1.5 STATIONARY 3.595 EC 2.754E06
1. CLAY 3.595 BLOWCOUNT 18
E. PIER P12~P14 COVER 2.0M TEST HOLE DB5
DIAMETER 1.5 STATIONARY 3.967 EC 2.754E06
1. CLAY 0.5 BLOWCOUNT 13
2. SAND 2.8 BLOWCOUNT 16
3. SAND 0.6667 BLOWCOUNT 23
END
 
輸出檔簡易介紹如下：
XXX Bridge initial horizontal spring(kg/cm3) for a single pile
_________________________________________________________________________
A. PIER P1~P3 COVER 6.0M TEST HOLE DB1 
PILE DIAMETER STATIONARY DEPTH CONCRETE MODULUS OF ELASTICITY
           1.50              3.84                  0.275E+07
ITEM SOIL TYPE DEPTH BLOW COUNT
1.     SAND   3.84      25 
以上乃輸入資料之列印供校對用
Pile horizontal resistance spring in kg/cm3:     2.682
New depth to firm stationary Point for iteration in  m:     3.836
______________________________________________________________________
B. PIER P4~P5 COVER 4.0M TEST HOLE DB2
PILE DIAMETER STATIONARY DEPTH CONCRETE MODULUS OF ELASTICITY
          1.50               3.71                 0.275E+07
ITEM SOIL TYPE DEPTH BLOW COUNT
1.     SAND   1.30      10
2.     CLAY   2.41      22
以上乃輸入資料之列印供校對用
Pile horizontal resistance spring in kg/cm3:     3.114
New depth to firm stationary Point for iteration in  m:     3.696
______________________________________________________________________
C. PIER P6~P8 COVER 2.5M TEST HOLE DB3
PILE DIAMETER STATIONARY DEPTH CONCRETE MODULUS OF ELASTICITY
           1.50               4.52                 0.275E+07
ITEM SOIL TYPE DEPTH BLOW COUNT
1.     CLAY   0.35       5
2.     SAND   4.17       6
以上乃輸入資料之列印供校對用
Pile horizontal resistance spring in kg/cm3:     1.425
New depth to firm stationary Point for iteration in  m:     4.493
______________________________________________________________________
D. PIER P9~P11 COVER 0.0M TEST HOLE DB4  
PILE DIAMETER STATIONARY DEPTH CONCRETE MODULUS OF ELASTICITY
          1.50               3.60                 0.275E+07
ITEM SOIL TYPE DEPTH BLOW COUNT
1.     CLAY   3.60      18
以上乃輸入資料之列印供校對用
Pile horizontal resistance spring in kg/cm3:     3.479
New depth to firm stationary Point for iteration in  m:     3.595
______________________________________________________________________
E. PIER P12~P14 COVER 2.0M TEST HOLE DB5 
PILE DIAMETER STATIONARY DEPTH CONCRETE MODULUS OF ELASTICITY
            1.50             3.97                 0.275E+07
ITEM SOIL TYPE DEPTH BLOW COUNT
1. CLAY   0.50      13
2. SAND   2.80      16
3. SAND   0.67      23
以上乃輸入資料之列印供校對用
Pile horizontal resistance spring in kg/cm3:     2.348
New depth to firm stationary Point for iteration in  m:     3.966

參考文獻

1.William Weaver, Jr. & James M. Gere, Matrix Analysis of Framed Structure D. Van Nostrand, New York.
2.杭基礎の設計法とその解說，日本土質工学会。
3.日本道路協會，道路橋示方書同解說，四下部構造篇，丸善株式會社，東京都中央區日本橋2の3の10。